Tip berguna

Penyelesaian persamaan padu

Pin
Send
Share
Send
Send


Kaedah kekerasan semasa membuat keputusan persamaan kubik menerima kemasyhuran terluas. Algoritma pelaksanaannya dikurangkan kepada yang berikut.

Kami akan memilih salah satu akar persamaan menggunakan harta bahawa persamaan kubik selalu mempunyai sekurang-kurangnya satu akar yang sah, dan keseluruhannya akar persamaan kubik dengan pekali integer akan pembahagi ahli percumad.

Odds daripada ini persamaanbiasanya dipilih supaya akar yang diperlukan adalah kecil integerseperti: 0, ± 1, ± 2, ± 3.

Dan, dengan itu, ia dikehendaki untuk mengesan akar antara nombor ini dan periksa oleh pemerhatian ke dalam persamaan.

Kami mengambil akar ini x 1.

Dalam langkah seterusnya, kongsi polinomialkapak 3 + b x 2 + cx + d pada binomialx - x 1.

Berkenaan bezou theorem (pembahagian polinomial ke dalam binomial linier), mengikut mana bahagian ini tanpa bakinya boleh dilakukan, dan berdasarkan hasil pengiraan, kita memperoleh polinomial darjah keduayang sifar. Menyelesaikan penerimaan yang diterima persamaan kuadratik, kami akan mencari (atau tidak!) dua akar lain.

Marilah kita analisis kursus menyelesaikan persamaan: x 3 - 3x 2 - 13x + 15 = 0.

Cari akar pertama menggantikan persamaan digit: 0, ± 1, ± 2, ± 3 kita mendapat 1 itu akarnya. Seterusnya, bahagikan bahagian kiri persamaan ini dengan binomialx- 1, dan dapatkan:

Jika satu akar diketahui

Marilah kita ketahui satu akar persamaan padu (1). Nyatakan akar yang dikenali sebagai. Kemudian membahagikan persamaan (1) dengan, kita memperoleh persamaan kuadratik. Menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati dua lagi akar dan.

Untuk membuktikan ini, kita menggunakan hakikat bahawa polinomial padu boleh diwakili sebagai:
.
Kemudian, membahagikan (1) dengan, kita memperoleh persamaan kuadratik.

Contoh pembahagian polinomial dipaparkan di halaman.
"Bahagian dan pendaraban polinomial menjadi polinomial dengan sudut dan lajur."
Penyelesaian persamaan kuadratik dipertimbangkan pada halaman
"Akar persamaan kuadratik."

Jika salah satu akarnya adalah keseluruhannya

Jika persamaan asal mempunyai bentuk:
(2) ,
dan koefisiennya ,,, adalah bilangan bulat, maka anda boleh cuba mencari seluruh akar. Jika persamaan ini mempunyai akar keseluruhan, maka itu adalah pembahagi faktor. Kaedah mencari akar keseluruhan ialah kita mencari semua pembahagi nombor dan periksa sama ada persamaan (2) memegang untuk mereka. Jika persamaan (2) memegang, maka kami telah menemui akarnya. Mari kita tetapkan sebagai. Seterusnya, kita membahagikan persamaan (2) oleh. Kami mendapat persamaan kuadratik. Menyelesaikannya, kita dapati dua lagi akar.

Cari akar rasional

Jika dalam persamaan (2) ,,, adalah bilangan bulat, dan tidak ada akar integer, maka kita boleh cuba mencari akar rasional, iaitu akar bentuk, di mana dan bilangan bulat.

Untuk melakukan ini, perolehan persamaan (2) dan buat penggantian:
,
(3) .
Seterusnya, kita mencari keseluruhan akar persamaan (3) di kalangan pembahagi istilah percuma.

Jika kita mendapati keseluruhan akar persamaan (3), maka, kembali ke pembolehubah, kita dapat akar rasional persamaan (2):
.

Formula Cardano dan Vieta untuk menyelesaikan persamaan padu

Jika kita tidak tahu akar tunggal, dan tidak ada akar integer, maka anda boleh mencari akar persamaan kubik menggunakan formula Cardano.

Pertimbangkan persamaan kubik:
(1) .
Mari buat penggantian:
.
Selepas itu, persamaan dikurangkan kepada bentuk yang tidak lengkap atau dikurangkan:
(4) ,
di mana
(5) , .

Formula Cardano untuk persamaan kubik tidak dikurangkan mempunyai bentuk:
,
,
,
,
.
Menurut formula Cardano, kita dapati tiga akar magnitud. Kemudian, menggunakan formula, kita dapati nilai kuantiti.

Selepas pemisahan akar kubik kuantiti, formula Cardano mengambil bentuk berikut:
(6) , ,
di mana
(7) , , ,
(8) .

Pada, untuk dan anda perlu memilih akar sebenar, yang secara automatik berkaitan dengan nisbah. Dalam kes ini, kita memperoleh satu penyelesaian sebenar dan dua konjugasi kompleks dan.

Apabila kita mempunyai:
, , .
Dalam kes ini, kita mempunyai dua pelbagai akar sebenar. Jika, maka kita mempunyai tiga akar berganda.

Apabila kita mempunyai tiga akar sebenar. Selain itu, ia adalah kompleks. Oleh itu, penyelesaian itu dikurangkan kepada bentuk trigonometri, yang mempunyai nama formula Vieta:
(9) ,
(10) ,
di mana
(11) , .

Contoh-contoh penyelesaian menggunakan formula Cardano dan Vieta

Menyelesaikan persamaan padu:
,
.

Kesusasteraan yang digunakan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej teknikal, "Doe", 2009.
G. Korn, Buku Panduan Matematik untuk Para saintis dan Jurutera, 2012.

Pengarang: Oleg Odintsov. Dimuat: 30-04-2016 Diubahsuai: 02-10-2016

Penyelesaian persamaan padu dua-segi bentuk A x 3 + B = 0

Persamaan kubik yang mengandungi binomial mempunyai bentuk A x 3 + B = 0. Ia mesti dikurangkan kepada x 3 + B A = 0 dengan membahagikan oleh A selain daripada sifar. Kemudian anda boleh menggunakan formula untuk pendaraban dikurangkan daripada jumlah kiub. Kami mendapatnya

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Hasil braket pertama mengambil bentuk x = - B A 3, dan trinomial persegi - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, dan hanya dengan akar kompleks.

Cari akar persamaan padu 2 x 3 - 3 = 0.

Penyelesaian

Ia adalah perlu untuk mencari x dari persamaan. Kami menulis:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Ia adalah perlu untuk menggunakan formula pendaraban disingkat. Kemudian kita mendapatnya

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Kami buka kurungan pertama dan dapatkan x = 3 3 2 6. Braket kedua tidak mempunyai akar sebenar, kerana diskriminasi kurang daripada sifar.

Jawapannya ialah: x = 3 3 2 6.

Penyelesaian persamaan padu kubik bentuk A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Bentuk persamaan kuadrat adalah A x 3 + B x 2 + B x + A = 0, dimana nilai A dan B adalah koefisien. Ia perlu membuat kumpulan. Kami mendapatnya

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B xx + 1 = x + 1 A x 2 + B - A + A

Akar persamaan adalah x = - 1, maka untuk mendapatkan akar trinomial kuadrat A x 2 + x B - A + A, anda mesti menggunakannya dengan mencari diskriminasi.

Selesaikan persamaan bentuk 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0.

Penyelesaian

Persamaan itu boleh diterbalikkan. Ia perlu membuat kumpulan. Kami mendapatnya

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 xx + 1 = x + 1 5 x 2 - x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Sekiranya x = - 1 adalah akar persamaan, maka adalah perlu untuk mencari akar trinomial yang diberi 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 · 5 = 13 10 - 69 10

Jawapannya ialah:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Penyelesaian persamaan padu dengan akar rasional

Jika x = 0, maka ia adalah akar persamaan bentuk A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Dengan istilah bebas D = 0, persamaan mengambil bentuk A x 3 + B x 2 + C x = 0. Meletakkan x dari kurungan yang kita dapati bahawa persamaan akan berubah. Apabila menyelesaikan melalui diskriminasi atau Vieta, ia akan mengambil bentuk x A x 2 + B x + C = 0.

Cari akar persamaan yang diberikan 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0.

Penyelesaian

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 adalah akar persamaan. Cari akar trinomial persegi bentuk 3 x 2 + 4 x + 2. Untuk melakukan ini, perlu disamakan dengan sifar dan meneruskan penyelesaian menggunakan diskriminasi. Kami mendapatnya

D = 4 2 - 4 · 3 · 2 = - 8. Oleh kerana nilainya adalah negatif, tiada akar trinomial.

Jawapannya ialah: x = 0.

Apabila pekali persamaan A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 adalah integer, maka dalam jawapan anda boleh mendapatkan akar tidak rasional. Jika A ≠ 1, maka apabila kedua-dua bahagian persamaan dikalikan dengan A2, pemboleh ubah digantikan, iaitu y = A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Kami datang ke bentuk persamaan padu. Akar-akalannya boleh menjadi utuh atau rasional. Untuk mendapatkan kesamaan identiti, adalah perlu untuk menggantikan pembahagi dalam persamaan yang dihasilkan. Kemudian y yang dihasilkan akan menjadi akar. Jadi akar persamaan asal bentuk x 1 = y 1 A. Ia adalah perlu untuk membahagikan polinomial A x 3 + B x 2 + C x + D dengan x - x 1. Kemudian kita dapat mencari akar trinomial persegi.

Cari akar persamaan yang diberikan 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Penyelesaian

Adalah perlu untuk melaksanakan penukaran dengan mendarabkan 2 2 kedua-dua bahagian, dan dengan penggantian pemboleh ubah jenis y = 2 x. Kami mendapatnya

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Istilah percuma ialah 36, maka perlu untuk memperbaiki semua pembaginya:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Ia perlu untuk menggantikan y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 untuk mendapatkan identiti borang

1 3 - 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( - 1 ) 3 - 11 · ( - 1 ) 2 + 24 · ( - 1 ) + 36 = 0

Dari sini kita lihat bahawa y = - 1 adalah akar. Oleh itu, x = y 2 = - 1 2.

Berikut ialah pembahagian 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 dengan x + 1 2 menggunakan skema Horner:

x iPekali polinomial
2- 11129
- 0 . 52- 11 + 2 · ( - 0 . 5 ) = - 1212 - 12 · ( - 0 . 5 ) = 189 + 18 · ( - 0 . 5 ) = 0

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Kemudian anda perlu mencari akar persamaan kuadrat bentuk x 2 - 6 x + 9. Kita mempunyai bahawa persamaan harus dikurangkan kepada bentuk x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2, di mana x = 3 akan menjadi akarnya.

Jawapannya ialah: x 1 = - 1 2, x 2, 3 = 3.

Algoritma ini boleh digunakan untuk persamaan pemulangan. Ia dapat dilihat bahawa - 1 adalah akarnya, yang bermaksud bahawa sebelah kiri boleh dibahagikan dengan x + 1. Hanya dengan itu boleh akar trinomial persegi dijumpai. Dengan ketiadaan akar yang rasional, penyelesaian lain digunakan untuk menimbulkan faktor polinomial.

Penyelesaian persamaan kubik oleh formula Cardano

Mencari akar kubik adalah mungkin menggunakan formula Cardano. Jika A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, adalah perlu untuk mencari B 1 = A 1 A 0, B 2 = A 2 A 0, B 3 = A 3 A 0.

Kemudian p = - B 1 2 3 + B 2 dan q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3.

P dan q yang dihasilkan dalam formula Cardano. Kami mendapatnya

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Pemilihan akar padu harus memenuhi nilai output - p 3. Kemudian akar persamaan asal adalah x = y - B 1 3. Pertimbangkan penyelesaian contoh sebelumnya menggunakan formula Cardano.

Cari akar persamaan yang diberikan 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Penyelesaian

Ia dapat dilihat bahawa A 0 = 2, A 1 = - 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

Ia perlu mencari B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Ia mengikutinya

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · - 2 3 27 - - 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Kami menggantikan formula Cordano dan dapatkan

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

- 343,216 3 mempunyai tiga makna. Pertimbangkan mereka di bawah.

- 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3, k = 0, 1, 2

Jika k = 0, maka - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Jika k = 1, maka - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Jika k = 2, maka - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Ia perlu untuk berpecah menjadi pasangan, maka kita dapat - p 3 = 49 36.

Kemudian kita mendapatkan pasangan: 7 6 1 2 + i · 3 2 dan 7 6 1 2 - i · 3 2, - 7 6 dan - 7 6, 7 6 1 2 - i · 3 2 dan 7 6 1 2 + i · 3 2.

Transform menggunakan formula Cordano:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 - i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i · 3 2 + 7 6 1 2 + 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 11 6 = 3

Jawapannya ialah: x 1 = - 1 2, x 2, 3 = 3

Apabila menyelesaikan persamaan kubik, seseorang dapat mencari pengurangan untuk menyelesaikan persamaan ijazah 4 dengan kaedah Ferrari.

Tonton video itu: 05 Menyelesaikan masalah isipadu kuboid (Ogos 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send